File:! Golden ratio and some regular polytopes.svg

Français : Les trois sections régulières de dodécaèdre de Platon qui sont en rouge : un triangle équilatéral et deux hexagones de l’espace à trois dimensions, ne sont pas déformés par la projection sur le plan du dessin, parce que ces trois sections sont parallèles au plan du dessin. Dans un même dessin de dodécaèdre, la section en traits verts est superposable à la section rouge. Un tel solide de Platon a vingt sommets, autant que de sections triangulaires formées par trois diagonales de faces. Les soixante côtés de ces vingt triangles sont les côtés de douze pentagones réguliers étoilés, chacun sur une face du solide. Les vingt sections hexagonales, dont la longueur des côtés est ${\displaystyle 2\,\Phi +1\,}$ dans le grand dessin de dodécaèdre, ont  ${\displaystyle 20\times 6=12\times 10=120\,{\text{ côtés}}\,}$ au total : les côtés de douze décagones réguliers étoilés, chacun sur une face pentagonale. La notation de Schläfli de ces douze décagones étoilés superposables est {10/3}. On peut mettre en évidence des propriétés de ces polygones réguliers non convexes grâce à un pavage de pentagone régulier convexe par des triangles d’or : un triangle d’or est un triangle isocèle dont le plus grand rapport de longueurs d’un côté à un autre est le ${\displaystyle {\text{nombre d’or : }}\,\Phi =2\,\cos 36\,^{\circ }={\frac {1}{\,2\,\cos 72\,^{\circ }}}={\frac {\,{\sqrt {5}}+1\,}{2}}.\,}$ Dans ses deux formes possibles, un triangle d’or a un ou deux angles ${\displaystyle {\text{de }}36\,{\text{ degrés,}}\,}$ son autre angle ou ses autres angles mesurant soit  ${\displaystyle 3\times 36^{\,\circ }=108^{\,\circ },\,}$ ${\displaystyle {\text{soit }}\,2\times 36^{\,\circ }=72^{\,\circ }.}$